#1 · 应用数学与建模
低密度郊区的账谁来付？
把地税收入和道路、管网的长期维护费放在同一张账表上，看看低密度开发怎样把部分成本转给别处。
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#2 · 分析学与复变函数
为什么有人把 1＋2＋3＋⋯ 写成 −1/12？
先跟着视频看几步形式运算，再留意普通部分和的走势。它越加越大，−1/12 来自另一套给发散级数赋值的规则。
#3 · 数学逻辑、集合与证明
无穷比你想的还要大
用一一配对判断两个集合是否一样大，再看为什么一张声称列出了全部实数的清单总能漏掉一个。
#4 · 动力系统、混沌与分形
为什么分形通常并不严格自相似？
从分形常见的缩放图像出发，分辨精确复制自身和细节在许多尺度上继续出现这两种性质。
#5 · 数学逻辑、集合与证明
怎样数过无穷？
试着把自然数与其他无穷集合逐一配对，再看对角线方法怎样表明实数无法按同一种方式排成一列。
#6 · 应用数学与建模
神经网络是什么？《深度学习》第 1 章
从手写数字识别入手，看一张图怎样变成一串像素数值，又怎样经过层层加权计算，最后得到十个候选数字的分数。
#7 · 数学物理
贝尔定理里的量子维恩图悖论
用集合重叠图为三种测量结果的相关性找一条上界，再对照量子预测，看看冲突出在什么假设上。
#8 · 计算数学与算法
比特币究竟怎样运作？
从多人共同记账的设想出发，分别看数字签名怎样验证交易，工作量证明怎样让参与者就账本历史达成一致。
#9 · 中小学数学
如果我们用十二进制数数
改用十二作进位单位后，二分之一、三分之一和四分之一会怎样写？从这些分数看十二的因数带来了什么便利。
#10 · 数学逻辑、集合与证明
数学能证明自己的每一个命题吗？
从希尔伯特为数学寻找完备基础的计划讲到哥德尔。留意「在一个系统内不可证明」需要哪些前提。
#11 · 拓扑与流形
在房子底下存放一千个克莱因瓶的人
跟着玻璃工艺制作者克利福德·斯托尔看克莱因瓶，留意玻璃瓶颈在三维空间里穿过瓶壁的地方。
#12 · 数学逻辑、集合与证明
巴拿赫–塔斯基悖论
为什么数学里能把一个球分成若干部分，再拼成两个同样大的球？关键要看那些部分为何没有通常意义的体积。
#13 · 应用数学与建模
指数增长与传染病
在每个病例平均传给固定人数的简化模型里，病例数为何会迅速翻倍？再看这个假设在现实中何时会失效。
#14 · 微积分
微积分的本质：导数与积分从哪里来？
从圆的面积出发，把圆拆成许多薄环，沿着近似求和的过程寻找导数与积分互为逆向操作的线索。
#15 · 中小学数学
用多米诺骨牌做加法
看骨牌倒下的不同路径怎样代表二进制信号，以及怎样把本位的和与进位送往不同方向。
#16 · 线性代数
向量是什么？《线性代数的本质》第 1 章
同一个向量可以画成箭头，也可以写成一列数字。看坐标如何随基准改变，以及加法怎样体现在箭头上。
#17 · 动力系统、混沌与分形
一条方程怎样走向混沌？逻辑斯蒂映射
固定迭代公式，只慢慢调高一个参数，观察长期行为从稳定值变成周期交替，再进入混沌区间。
#18 · 中小学数学
十亿究竟有多大？
把十亿和一百万放进同一种量纲里比较。单位相同，数字多三个零，实际规模就要乘上一千。
#19 · 计算数学与算法
恩尼格玛密码机有多少种设置？
把转子顺序、起始位置和插线板的选择分开计数，再看合在一起的数量为何远大于每一部分。
#20 · 分析学与复变函数
虚数是怎样被发明的？
从求解三次方程的历史入手，看中间步骤怎样出现负数开方，即使最后要求的是一个实数解。
#21 · 应用数学与建模
只用数学画一个角色
跟着图形程序员伊尼戈·基莱斯看角色轮廓怎样由函数组合出来，并留意平滑连接如何把几块简单形状拼在一起。
#22 · 数学家与数学史
吉姆·西蒙斯完整访谈
听西蒙斯回忆自己做数学研究的经历，以及后来怎样把数学建模带进投资工作。
#23 · 中小学数学
零为什么会让某些运算卡住？
从除法和乘法的反向关系检查除以零会发生什么，再比较零在加法和乘法中的角色。
#24 · 计算数学与算法
恩尼格玛密码机的一处设计弱点
恩尼格玛的设计有个限制，明文中的字母无法加密成它自己。这个限制看似严密，却会帮助分析者排除一批候选对齐方式。